O que é a Transformada Numérica

A Transformada Numérica, ou simplesmente TN, é uma maneira alternativa de notação de funções e expressões da Álgebra Booleana e do Cálculo Proposicional onde cada expressão é representada por um "número designador" determinado segundo regras bem estabelecidas.
Tendo se definido formalmente como se obter a TN de uma expressão dada e vice-versa (dada a TN obter uma expressão algébrica correspondente) e como se efetuar as operações booleanas entre tais "números designadores" foram descorbertas uma série de propriedades e algoritmos na Álgebra Booleana que simplesmente não se conhecia.
Estas definições convenientemente montadas tornaram possível efetuar com a expressão booleana em forma de TN (ou, simplesmente, com a TN) qualquer coisa que se faz com a expressão algébrica de maneira que pode-se entender a TN como um campo isomórfico à Álgebra Booleana e ao Cálculo Proposicional.
Na Álgebra Booleana pode-se efetuar operações entre funções, obter simplificações, projetar circuitos lógicos, deduzir teoremas (Cálculo Proposicional), etc.
Com a TN pode-se fazer o mesmo e o que se ganha é que muitas soluções complicadas ou desconhecidas tornam-se fáceis e até triviais ! ! !
Podemos, então, falar em Campo Algébrico e Campo Numérico (ou Campo Transformado), conforme se vê na figura abaixo, onde se ilustra a forma de obtenção da solução de um problema lógico do qual não se conhece uma técnica algébrica de resolução.

Este processo de "transformação/resolução/anti-transformação" é similar ao praticado quando se resolvem problemas de equações diferenciais utilizando-se a Transformada de Laplace.

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Definição Formal de TN
A Transformada Numérica (TN) é uma forma de denotar expressões booleanas pela especificação completa de seu Disjunto Ordenado de Épocas Matemáticas

Como os conceitos de Disjunto e de Épocas Matemáticas não possuem ampla divulgação nos meios acadêmicos podermos oferecer uma definição um pouco memos formal, mas mais fácil de comprender

Definição Menos Formal de TN
A TN é a Tabela Verdade da expressão booleana apresentada de forma horizontal e da qual retiramos tudo que é supérfluo

Seja a Tabela Verdade da expressão booleana:   A ou não B

a qual pode ser expressa algebricamente por  :   (A + B')

A	B	A + B'
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Os únicos itens essenciais para especificar o valor da expressão dada são:

• o conjunto dos valores verdade da expressão (números na última coluna: 1, 1, 0, 1)
• a ordem das variáveis independentes (letras na primeira linha: A, B)

Apenas com estas duas informações eu posso resconstruir a expressão algébrica (ou uma equivalente a ela). Assim, a TN possui estes dois elementos:

TN (A+B') = [1101; AB]

O primeiro elemento da TN é o cordão de bits da última coluna da Tabela Verdade lidos de baixo para cima e o segundo elemento são as variáveis independentes da Tabela lidas da esquerda para a direita. A ordem de baixo para cima e da esquerda para a direita, foram adotadas apenas porque se precisava de uma convenção e não por algum motivo especial qualquer.

Foram desenvolvidos algoritmos e técnicas para efetuar uma transformação (dada uma expressão algébrica obter sua TN) e para a anti-transformação (dada a TN obter uma expressão algébrica). Neste último caso pode-se obter uma expressão algébrica em diversas formas como, por exemplo:

• Forma Normal Conjuntiva
• Forma Normal Disjuntiva
• Soma de Implicantes Primários
• Produtos de Somas
• Disjuntos de Sistemas de Equações Simultâneas (Resolução de Sistemas)

Uma introdução completa à TN, suas definições e técnicas, pode ser encontrada nos três primeiros capítulos do livro "Métodos Numéricos Para a Resolução de Problemas Lógicos", do Prof. Del Picchia.

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Aplicações da TN

As técnicas da TN já foram aplicadas à:

Álgebra Booleana

para desenvolver técnicas de Simplificação de Expressões

para desenvolver ferramentas de Projeto Automático de Circuitos Lógicos

no projeto de máquinas criptográficas

Cálculo Proposicional

na Prova e Dedução Determinística de Teoremas

na programação de Sistemas de Apoio a Decisão.

Outras aplicações de TN estão sendo desenvolvidas por grupos de pesquisas independentes

Grupo Fink/Vianna

no Projeto Automático de Circuitos Lógicos

Grupo Weber/ULBRA

no estudo de Lógica Nebulosa (Fuzzy Logic)

Grupo TD Tecnologia Digital

no estudo da Aritmética Computacional e Criptografia

Em resumo, onde se usa Álgebra Booleana ou qualquer Lógica Polivalente (discreta) pode-se aplicar as idéias da TN com vantagens.

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